1924), Герой Социалистического труда (1941). Ученик и соратник Н.Е.Жуковского. В 1890 окончил физико-математический факультет Московского университета и по представлению Жуковского был оставлен там для подготовки к профессорскому званию.
С 1893 преподавал физику в женском среднем учебном заведении, механику в Императорском техническом училище, Московском инженерном училище, Московском университете. Чаплыгин — организатор и директор Московских высших женских курсов (1905–18). Чаплыгиным написаны университетский курс аналитической механики «Механика системы» (ч. 1–2, 1905–07) и сокращённый «Преподавательский курс механики» для втузов и естественных факультетов университетов (1915). Первые труды Чаплыгина, созданные под влиянием Жуковского, относятся к области гидромеханики. В работе «О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости» (1894) и в магистерской диссертации «О некоторых случаях движения твёрдого тела в жидкости» (1897) он дал геометрическую интерпретацию законов движения твёрдых тел в жидкости. За исследования по теории движения твёрдого тела в жидкости и по движению тел с неинтегрируемыми связями Чаплыгин получил в 1899 г. от Петербургской АН почётную золотую медаль.
В конце 19 — начале 20 в.в. Чаплыгин начинает заниматься струйными течениями. В 1902 г. представляет в Московский университет докторскую диссертацию «О газовых струях», в которой был дан метод исследования струйных течений газа при любых дозвуковых скоростях. В то время исследование газовых течений со скоростями, приближающимися к скорости звука, не было актуально для авиации. Лишь через 30 лет работа Чаплыгина явилась основой для решения задач о звуковых течениях, а развитие созданных в ней методов привело к решению основных вопросов, связанных с работой крыла при больших дозвуковых скоростях. Вопросы аэродинамики стали центром его научной деятельности. В 1910 г. почти одновременно появились работы Чаплыгина «О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела» и Жуковского «О контурах поддерживающих поверхностей аэропланов», в которых впервые даются способы количественного определения циркуляции вокруг профиля.